Conference abstracts
Session S13 - Number Theory
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Formas Cuadráticas y el teorema de los 15
Juanita Duque
Universidad de los Andes, Colombia - j.duque10@uniandes.edu.co
Una forma cuadrática entera es un polinomio $f(x_1,\ldots, x_n)\in \mathbb{Z}[x]$, homogéneo y de grado 2. Diremos que $f(x_1,\ldots, x_n)$ representa a un entero $m$ si existe $\vec{a}\in \mathbb{Z}^n$ tal que $f(\vec{a})=m$. Nuestro objetivo será explicar con detalle una demostración del \textit{"teorema de los 15" de Conway-Schneeberger }(1993). Explicaremos los detalles de la prueba publicada por Bhargava (2000). El teorema afirma: \textit{si una forma cuadrática entera definida positiva representa a todo entero positivo hasta 15, entonces representa a todos los enteros positivos.} Una forma que cumpla esto último se denomina \textit{universal}.
A partir de este punto, el término forma cuadrática se referirá a una forma cuadrática definida positiva. Para demostrar el teorema se utilizará la relación que existe entre retículos y formas cuadráticas. Denote como $ausente$ al mínimo entero que una forma cuadrática no universal no representa. Una \textit{escalada} de un retículo no universal $L$ es el retículo generado por $L$ y un vector de norma el ausente de $L$. Un \textit{retículo escalado} es una sucesión de escaladas partiendo del retículo cero dimensional. Se mostrará que todo retículo escalado de dimensión cinco es universal, hallando directamente todos los retículos escalados de dimensión menor o igual a $5$. Después, se probará que toda forma cuadrática es universal si y solo si posee un subretículo escalado cuatro o cinco dimensional universal. Luego, toda forma cuadrática es universal si representa a los ausentes de los retículos escalados de dimensión $0$ hasta $4$. El nombre del teorema se debe a que estos ausentes son menores o iguales que 15.
Joint work with Yacir Ramirez (Universidad de los Andes, Colombia).